也就是说：

什么= fixpoint (什么-Protocol).

除了以上的fixpoint的性质，我们还发现了存在于Max和MinMax之间的关系。

首先，MinMax是MaxProtocol的一个post-fixpoint，即：

MinMax <: MaxProtocol[MinMax]

其次，我们可以看出：

MinMaxProtocol[Max] <: MaxProtocol[Max]

MinMaxProtocol[MinMax] <: MaxProtocol[MinMax]

最后，如果我们用<::来表示一个更高阶的子类型关系：

P <:: P’ 当且仅当 P[T] <: P’[T]　

那么，MinMaxProtocol <:: MaxProtocol.

对于子协议的定义，我们可以采取上面的<::的定义，即：

如果S-Protocol<::T-Protocol, 那么我们称类型S和类型T之间是子协议关系。　(1)

我们也可以不用这个高阶的关系，仍然使用<:这个subtype的关系：

如果S<:T-Protocol[S], 那么我们称类型S和类型T之间是子协议关系。　(2)

其实，第一个定义似乎更直观一点，它更明确地显示出子协议关系是作用于类型上的函数(type operator)之间的关系，而不是类型之间的关系。

使用泛型技术，如果我们的某一个类型需要一个实现MaxProtocol的类型来实例化的话，我们可以采用下面两种方法中的一种：

ObjectOperator P1[X <: MaxProtocol[X]] is … end; (1)

ObjectOperator P2[P <:: MaxProtocol] is … end; (2)

这两种方法在表达能力上是相同的。第一种方法叫做F-bounded parameterization. (译者按，Generic Java据说就采用了这个方法)；第二种方法叫做 higher-order bounded parameterization.

对于具体语言的实现，为了方便，我们可以隐藏这个type operator. 语法上可以直接对类型支持subprotocol的关系（用<#来表示）。

对我们的MinMax的例子来说，我们就有：

MinMax <# Max.

(译者按，绕了一大圈，什么fixpoint啊，post-fixpoint啊，什么高阶关系啦，希望没把你绕晕。其实，你只需要记住MinMax <# Max, 就八九不离十了，呵呵)

<#这个关系并不具有subsumption的性质，所以，你不能指望从它身上得到传统OO里面的多态。但是，与泛型相结合，它却是非常有用的。

比如说，我们可以对我们的所有你用来当作参数传给我的基于GP的快速排序模板函数给出这样的约束：用来实例化这个模板函数的的类型必须支持Comparable协议。

（译者按，使用它对加强C++中的模板的类型安全会很有用。其实，对使用gp的程序来说，也许子协议约束比子类型约束更合理。子类型的sumbsumption要求多态，即dynamic dispatch。但很多时候，我们并不一定需要类型参数支持多态。请参看我的拙文：http://www.allaboutprogram.com/bb/viewtopic.php?t=255）

思考题：

１．　Java是支持Covariant的Array的。你可以把一个String[] 类型的对象当作一个Object[]类型来使用。

那么，Java的covariant array是类型安全的吗？为什么？

２．　大家都知道经典的矩形和正方形之间的类型关系吧？在支持get, set的正方形和矩形之间，并不存在subtype的关系，这是因为subsumption对get或set操作是不安全的。但是，是否正方形和矩形之间就不可能有subtype的关系呢？如果矩形的类型只支持get, 结果会是什么？如果正方形只支持set, 结果又是什么呢？