在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1）       应用几何性质：

①     三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②     两点间线段最短；

③     连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④     定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

①     运用配方法求二次三项式的最值；

②     运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。

例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。
分析：已知条件AB＝3，AC＝2与所求的AP比较分散，考虑到△BCP是等边三角形，若△ACP绕点P逆时针旋转60°到△A^，BP中，则A^，B＝AC，A^，P＝AP，∠AP A^，＝60°.可得△AA^，P是等边三角形，则AB＝3，AC＝A^，B＝2与所求的A A^，就集中到△AA^，B中（特殊情况A、A^，、B三点在同一直线上）。

∵AB-A^，B≤A A^，≤AB+A^，B

∴1≤A A^，≤5
例3、已知：如图⊙O₁与⊙O₂相交于C、D,A是⊙O₁上一点，直线AD交⊙O₂于点B。

⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O₂于点B’，连结A’C、B’C。证明：△A’B’C∽△ABC。

(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S_△A’B’C最大，说明理由。

（3）当O₁ O₂＝11，CD＝9时，求S_△A’B’C的最大值。

分析：（1）中结论△A’B’C∽△ABC易证。

（1）       由△A’B’C∽△ABC知，要求S_△A’B’C的最大值，可从相似和三角形的面积比入手得S_△A’B’C／S_△ABC＝CA’²／CA²,因为S_△ABC和CA为定值，所以当CA’取最大值即为直径时，S_△A’B’C最大

（2）       由（2）可得S_△A’B’C的最大值为99.

例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝ymm，宽MN＝xmm

（1）求证：y=120-  ３／２  x

（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

分析：本题根据相似三角形的性质，建立矩形的边长与矩形面积的函数关系，利用二次函数的最值公式，求出二次函数的最值。