三 正态总体参数的无偏估计

　　设 是来自正态总体N( )的一个样本，现将参数 、 和 的常用的无偏估计分述如下。

　　1正态均值 的无偏估计

　　正态均值 的无偏估计有两个：

　　(1) 是样本均值;

　　(2) 是样本中位数;

　　即：

　　当n为偶数

　　当n为奇数

　　当样本量为1或2时，上述两个无偏估计相同;当 ≥3时，它们一般就不同。理论和实践都表明：在估计正态均值 时，用样本均值 总比用样本中位数 要更有效些，因为样本均值 使用了样本中全部信息，而样本中位数只用了样本中部分信息，但样本中位数 计算简单快捷，故在实际中也常被使用，统计过程控制(SPC，见第七章)中的中位数图就是一例。

　　2正态方差 的无偏估计

　　常用的只有一个，它就是样本方差 ，即：

　　理论研究表明，它在 所有无偏估计中是最有效的。

　　3正态标准差 的无偏估计

　　正态标准差 的无偏估计有两个：

　　(1) 一个是对样本极差R= 进行修偏而得，具体估计为:

　　(2) 对样本标准差 进行修偏而得，具体估计是：

　　其中 2与 是与样本无关而与样本量 有关的常数，常用的值列。

　　对 =2时，上述两个无偏估计相同。当 时，它们一般不相同。

　　例2 从某厂生产的一批铆钉中随机抽取10个，测得其头部直径分别为：13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50，若铆钉头部直径这一总体的分布是正态分布 ，求总体X的均值 和标准差 的估计。

　　解析：

　　因 ，可用 估计 ，用 估计 ，它们分别为：

　　在本例中，利用样本标准差 可得到 的另一估计：

　　四 正态概率纸

　　正态概率纸是一种特殊的坐标纸，其横坐标是等间隔的，纵坐标是按标准正态分布函数值给出的。

　　正态概率纸的意义：

　　1检验一组数据(即样本) 是否来自正态分布。

　　具体操作如下：

　　①把样本数据排序： ;

　　②在点 处，用修正频率 (或 )估计累计概率 。

　　计算这些估计值;

　　③把 个点逐一点在正态概率纸上。

　　④用目测法判断：

　　若这 个点近似在一直线附近，则认为该样本来自某正态总体;若 个点明显不在一直线附近，则认为该样本来自非正态总体。

　　正态概率纸上作图的步骤：

　　例3 随机选取10个零件，测得其直径与标准尺寸的偏差如下(单位：丝)：

　　100.5， 90.0， 100.7， 97.0， 99.0， 105.0， 95.0， 86.0， 91.7， 83.0。

　　解析：

　　在正态概率纸上作图的步骤如下：

　　①将数据按从小到的次序排列： ;

　　②计算修正频率;

　　③将点 ，逐一点在正态概率纸上;

　　④观察上述 个点的分布状态，从图上可见，10个点基本在一条直线附近，因此认为直径与标准尺寸的偏差服从正态分布。

　　2. 在确认样本来自正态分布后，可在正态概率纸上作出正态均值 与正态标准差 的估计。具体操作如下：

　　(1)在图上用目测法画出一条直线;

　　(2)从纵轴0.50处画一水平线与直线 交于A点，从A点落下垂线，垂足M的横坐标便是正态均值u的估计值;

　　(3)从纵轴为0.84处画一水平线与直线 交于B点，从B点落下垂线，垂足N的横坐标是 的估计值，故线段MN的长度就是正态标准差 的估计值。

　　3. 在确认样本来自非正态分布后，可对数据作变换后再在正态概率纸上描点，若诸点近似在一直线附近，则可认为变换后的数据来自某正态总体，常用的变换有如下两个：

　　或 若数据 经对数变换 ，后在正态概率纸上呈直线状，则可认为 ，并在图上定出u与 ，这时X服从对数正态分布，记为 。

　　当数据 经倒数变换 ，后在正态概率纸上呈直线状，则可认为 ，并在图上定出u与 。这时X服从倒正态分布，记为 。