13.已知a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。
14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2,Q是 上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交 于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
15. 数列 定义如下: ,且当 时, 已知 ,求正整数n.
答案:13.已知a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。
解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=
4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。
当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。
14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2,Q是 上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交 于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
解:以 为x轴,点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ,令2m=h2+k2-3,tan∠MAN= ,所以m+r k =nhr,∴m+(1-nh)r= ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数r≥1,上式恒成立,所以 ,由(1)(2)式,得m=0, k=0,由(3)式,得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ,所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。
15. 数列 定义如下: ,且当 时, 已知 ,求正整数n.
解 由题设易知, .又由 ,可得,当n为偶数时, ;当 是奇数时, .
由 ,所以n为偶数,于是 ,所以, 是奇数.
于是依次可得:
, 是偶数,
, 是奇数,
, 是偶数,
, 是奇数,
, 是偶数,
, 是偶数,
, 是奇数,
, 是偶数,
, 是奇数,
, 是偶数,
所以, ,解得,n=238.