第一讲、概率的基础知识

　　学习目标

　　掌握随机现象与事件的概念

　　熟悉事件的运算

　　掌握概率的统计定义及其性质

　　熟悉事件的独立性及其性质

　　重点：

　　概率的定义及其性质

　　一 事件及其概率

　　1 随机现象

　　(1)定义

　　在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

　　(2)特点：

　　随机现象有两个特点：

　　第一，随机现象的可能结果至少有两个;

　　第二，事先并不知道出现哪一个可能结果。

　　2 确定性现象

　　(1) 定义

　　只有一个结果的现象称为确定性现象。

　　随机现象在质量管理中到处可见。

　　例1 以下是随机现象的一些例子：

　　(1)一天内进入某超市的顾客数;

　　(2)一颗麦穗上长着的麦粒数;

　　(3)新产品在未来市场的占有率;

　　(4)一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间;

　　(5)加工某机械轴的误差。

　　(6) 一罐午餐肉的重量。

　　3 样本点与样本空间

　　(1) 样本点：随机现象一切可能发生的基本结果称为样本点。

　　(2) 样本空间：随机现象一切可能样本点的全体，称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。比如

　　“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间 “一天内进入某超市的顾客数” 的样本空间

　　二 随机事件

　　1定义

　　随机现象某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。常用写字母A、B、C等表示。由随机事件的定义可以看出，随机事件事实上是集合，因此随机事件之间的关系和运算与集合之间的关系与运算类似。

　　2 随机事件的特征

　　(1) 任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集;

　　(2) 事件A发生当且仅当A中的某一样本点发生;

　　(3) 任一样本空间都有一个最子集，这个最子集就是Ω，其对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示;

　　(4) 任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，其对应的事件称为不可能事件，用 表示。

　　3 随机事件之间的关系

　　(1) 包含

　　在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A包含于B中或B包含A，记为 。

　　(2) 互不相容

　　在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A、B没有相同的样本点，或A、B不可能同时发生，即 ，称A、B互不相容。

　　(3) 相等

　　在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A、B含有相同的样本点，称A、B相等，记作A=B。

　　4 事件的运算

　　(1) 对立事件

　　在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，则由Ω中而不在A中的样本点组成的事件，称为A的对立事件，记为 。

　　(2) 事件的并

　　由事件A与B中所有样本点(相同的只计一次)组成的新事件称为A与B的并，记为A∪B。

　　注：并事件A∪B发生，意味着“事件A与B中至少一个发生”。

　　(3) 事件的交

　　由事件A与B中公共的样本点组成的新事件，称为事件A与B的交，记为A∩B或AB。

　　注：交事件AB发生，意味着“事件A与B同时发生”。

　　事件的并和交可推广到三个或更多事件上去。

　　5 事件的概率

　　随机事件的发生是带有偶然性的。但随机事件发生的可能性还是有小之别，是可以度量的。实际上在生活、生产和经济活动中，人们常关心一个随机事件发生的可能性小，即事件的概率。

　　(1) 概率的统计定义

　　频率

　　在 次重复试验中，事件A发生 次，则事件A发生的频率定义为：

　　概率

　　随机事件A发生的可能性小称为事件A发生的概率，用P(A)表示。

　　频率 会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率 的稳定值就是事件A

　　的概率P(A)。

　　(2)概率的性质 |

　　性质1 性质2 性质3 0≤P(A)≤1

　　性质4 若事件A与B互不兼容，则A与B的并的概率等于各事件概率之和，即：

　　P(A∪B)= P(A)十P(B)

　　性质5 性质6 若事件A与B相互独立(即其中一个事件发生不影响另一事件的发生)，则A与B的交事件的概率为：

　　P(AB)= P(A)P(B)

　　例2一个试验的结果是五种可能结果之一,这五种可能结果分别记为a, b, c, d, e。它们发生的概率为:

　　结果abcde

　　概率0.10.20.10.40.2

　　分析：

　　(1) 这个试验的样本空间为 , 所以有:

　　这也说明了必然事件的概率为1。

　　(2)定义事件 ，它的概率为：

　　(3)定义事件 ，它的概率为：

　　(4)并事件 ，它的概率为：

　　(5)交事件 ，它的概率为：